Gezmat http://gezmat.pl
Copyright 2015--2018 Autorzy pakietu Gezmat
Licencja CC BY-SA 4.0 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl

Sprawdzian dla chętnych, wakacyjny
Giżycko, 2017-08-22
\emph{ Nauczyciel Twojego \textbf{ulubionego} przedmiotu może niedługo skorzysta z tej maszynki... }
Prześlij nam informację, je\underline{s}li znalazłeś błąd w \textsc{Gezmat}... ;-)
----------------------------------------------------------
Kamyki

Daria i Nela zebrały na plaży kamyki. Jeśli Daria dałaby Neli  $ 5 $ kamyków, to miałyby po tyle samo kamyków. A jeśli Nela dałaby Darii  $ 5 $ kamyków, to Daria miałaby 6 razy tyle kamyków, co Nela. Ile kamyków ma każda z dziewczynek?

 $ D - 5 = N + 5$ oraz $ D + 5 =  6 ( N - 5 )$

Daria miała  $ 19 $ kamyków, a Nela  $ 9 $ kamyków.
----------------------------------------------------------
~\\ \textbf{\emph{Nowość!}} \\[-1em]
Ceglany dom

Ceglany dom ma ściany o grubości $25$ cm. Wewnątrz domu utrzymywana jest stała temperatura $24^\circ$C. Temperatura powietrza na zewnątrz wynosi $14^\circ$C.\\a) Oblicz, ile ciepła stracimy w ciągu sekundy przez jedną ze ścian o powierzchni $24$ m$^2 $. Przyjmij, że przewodnictwo cieplne cegły wynosi $0,6$ W/(K$\cdot$m).\\b) Aby zapobiec utracie ciepła, ocieplono budynek z zewnątrz warstwą styropianu o grubości $50$ cm. Ile teraz tracimy ciepła przez tę samą ścianę? Przyjmij, że przewodnictwo cieplne styropianu wynosi $0,04$ W/(K$\cdot$m).\\c) Jaka temperatura panuje na złączu matariałów?

 
  \begin{center}
  \begin{asy}[width=0.5\textwidth, height=0.2\textheight, keepAspect=false]
    import graph;
    size(0, 150, IgnoreAspect);
     scale(Linear,Linear);
  

    draw((0,0)--(0,1));
    draw((0.5,0)--(0.5,1));
    draw((0.9,0)--(0.9,1));

    labelx("wewnątrz",(-0.2,0.6), fontsize(10pt));
    labelx("$T_1$",(-0.18,0.45), fontsize(10pt));
    labelx("cegła",(0.23,0.59), fontsize(10pt));
    labelx("na zewnątrz",(1.2,0.6), fontsize(10pt));
    labelx("$T_2$",(1.25,0.45), fontsize(10pt));
    labelx("styropian",(0.7,0.59), fontsize(10pt));

    arrow ((0.5,0), S);
    labelx("$T_3$", (0.5, -0.2), fontsize(10pt));

     
    \end{asy}
    \end{center}
    


  \[H = \frac{Q}{t} = k\cdot \frac{S}{L} \cdot (T_1-T_2) \]
  $H$ - strumień ciepła, $Q$ - przekazane ciepło, $k$ - współczynnik przewodnictwa cieplnego, $S$~-~powierzchnia ciała, $L$ - grubość ciała, $T_1$ - temperatura powietrza wewnątrz domu, $T_2$~-~temperatura powietrza na zewnątrz.
  


  \[H_1 \cdot \frac{L_1}{k_1} = S \cdot (T_1-T_3) \]
  \[H_2 \cdot \frac{L_2}{k_2} = S \cdot (T_3-T_2) \] 
  W warunkach stacjonarnych strumienie ciepła przepływające przez obie warstwy muszą być równe, stąd:
  \[H_1 = H_2 = H\]
  Dodając dwa pierwsze równania stronami i porządkujac je, uzyskujemy:
  \[H = S \cdot \frac{T_1-T_2}{\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}}\]
   $H_1$ - strumień ciepła płynący przez cegłę, $H_2$ - strumień ciepła płynący przez styropian, $k_1$~-~współczynnik przewodnictwa cieplnego cegły, $k_2$ - współczynnik przewodnictwa cieplnego styropianu, $L_1$ - grubość cegły, $L_2$ - grubość styropianu, $T_3$ - temperatura panująca między cegłą a styropianem. 
  

Przez ceglany mur tracimy około $ 576$ J na sekundę, a przez mur ocieplony warstwą styropianu $ 18,6$ J na sekundę. Temperatura między cegłą a styropianem jest równa $ 23,3^\circ$C.
----------------------------------------------------------
Zderzenie niesprężyste

Na poziomym, bardzo śliskim stole znajduje się sześcienny klocek o masie $0,5$ kg. Do jednej z~jego ścian jest przymocowana nieodkształcona sprężyna o współczynniku sprężystości $k=160$ N/m, której drugi koniec jest przyczepiony do ściany, a sprężyna jest równoległa do blatu stołu. W pewnym momencie z klockiem tym zderza się drugi sześcian o masie $1$ kg, poruszający się z prędkością $V_1=4$ m/s. Oblicz maksymalne ściśnięcie sprężyny, jeśli klocki w~momencie zderzenia zlepiają się.  
\begin{center}
  \begin{asy}[width=0.5\textwidth]
import feynman;

unitsize(1bp); // Very important. With size() or other values width of the pen scales differently than sizes of objects.

real l = 40; // Length of an brick
real h = 30; // Height of an brick
real s = 40; // Length of the spring

// Size of picture
real height =  8 * h;
real width =  10 * l;

real penWidth = 0.8;
defaultpen(penWidth);

pair R1, R2, R3, R4, A, B, C, D, R5, R6, R7, R8, E, S1, S2;
//Brick 1
R1 = (0, 0);
R2 = (-l, 0);
R3 = (-l, h);
R4 = (0, h);
path Brick1 = R1--R2--R3--R4--cycle;
filldraw(Brick1, opacity(0.7)+lightgrey);

//Velocity
A = (0, 0.5 * h);
B = (0.9 * l, 0.5 * h);
path V = A--B;
draw(Label("$V_1$" , 0.4), V, N,  Arrow);

//Brick 2
R5 = (l, 0);
R6 = (1.8 * l, 0);
R7 = (1.8 * l, 0.8 * h);
R8 = (l , 0.8 * h);
path Brick2 = R5--R6--R7--R8--cycle;
filldraw(Brick2, opacity(0.7)+lightgrey);


// Floor
C = (-3 * l, 0);
D = (3 * l, 0);
path Floor = C--D--cycle;
draw(Floor);

//Wall
E = (3 * l, 2 * h );
path Wall = E--D;
draw(Wall);


void drawSpring(pair beg, pair end, real amplitude = 12., real width = 20., real endingLength = 15.) {
  pair direction = dir(beg--end);
  pair beg1 = beg + endingLength * direction;
  pair end1 = end - endingLength * direction;
  drawGluon(beg1--end1, amp = amplitude, width = width);
  draw(beg--beg1);
  draw(end--end1);
}
pair beg = (1.8 * l, 0.4 * h);
pair end = (3 * l, 0.4 * h);

drawSpring(beg, end, amplitude=s/15., width=s/8., endingLength=s/10.);

label(Label("$k$", 0.5, 2N), beg--end);

  \end{asy}
\end{center}


Skorzystaj z zasady zachowania pędu \[p_1=p_2,\] \[m_1V_1 =V_2(m_1+m_2),\] gdzie $V_2$ to prędkość zlepionych klocków po zderzeniu.

Skorzystaj z zasady zachowania energii mechanicznej - energia kinetyczna $E_k$ zmienia się w energię potencjalną sprężystości $E_{ps}$ \[ E_k=E_{ps},\] \[\frac{(m_1+m_2)V_2^2}{2} = \frac{kx_{max}^2}{2}.\] 

Maksymalne ściśnięcie sprężyny wynosi $ x_{max} = m_1V_1\sqrt{\frac{1}{k(m_1+m_2)}} = 25,8$ cm, gdzie $m_1$ to masa uderzającego klocka, a $m_2$ to masa klocka zaczepionego do sprężyny.
----------------------------------------------------------
Rzut ukośny

Marcin chce kopnąć małą piłkę z powierzchni ziemi pod kątem $\alpha=55^\circ$ do poziomu tak, aby uderzyła w wierzchołek słupa znajdujący się na wysokości równej $14$ m, a widoczny, z punktu wyrzutu, pod kątem $\beta=35^\circ$ względem powierzchni ziemi. Jaką wartość prędkości $V_0$ powinien nadać piłce? Opory powietrza pominąć. 
\begin{center}
  \begin{asy}[width=0.5\textwidth]

unitsize(1bp); // Very important. With size() or other values width of the pen scales differently than sizes of objects.

real h = 100; // Height of an tower
real l = 150; 

// Size of picture
real height =  1.3 * h;
real width =  1.2 * l;

real penWidth = 0.8;
defaultpen(penWidth);
// Tower

pair A, B, C, D, E, F;
A = (0, 0); 
B = (-l, 0);
C = (-l, h);
D = (-1.04 * l, h);
E = (-1.04 * l, 0);
F = (-1.1 * l, 0);

path Line = A--F;
draw(Line);

path Tower = B--C--D--E--cycle;
draw(Tower);
filldraw(Tower, opacity(0.7)+lightgrey);

path Beta = A--C;
draw(Beta, gray(0.6));
real angle = aTan(h/l); // Returns degrees
draw("$\beta$",arc(A, 0.1 * l, 180-angle, 180),PenMargins);

// Velocity
pair V1 = (-l * 0.2, 0.34 * h);
path V = A--V1;
draw(Label("$V_0$"), V, Arrow);
real angle1 = aTan(0.34*h/(l*0.2)); // Returns degrees
draw("$\alpha$",arc(A, 0.2 * l, 180-angle1, 180),PenMargins);

  \end{asy}
\end{center}

\textbf{To też \emph{nowości!}}

Widać, że $ \tg\beta $ to stosunek  wysokości słupa do odległości jego podstawy od miejsca wyrzutu piłki \[ \frac{y}{x}=\tg\beta.\]

Przyjmując za początek ruchu początek kartezjańskiego układu współrzędnych, położenie ciała po czasie $t$ określają równania (w pionie mamy do czynienia z~ruchem jednostajnie opóźnionym, a w poziomie z jednostajnym) \[y = V_{0y}t-\frac{gt^2}{2},\] \[x = V_{0x}t,\]gdzie $V_{0y}$ to składowa pionowa prędkości $V_0$, a $V_{0x}$ to składowa pozioma prędkości $V_0$ \[V_{0y} = V_0\sin\alpha,\] \[V_{0x} = V_0\cos\alpha.\]

Wartość prędkości piłki w momencie wyrzutu wynosi \[V_0 = \sqrt{\frac{gy}{2(\tan\alpha-\tan\beta)\cos^2\alpha\tan\beta}} \approx 20,2 \textrm{ m/s},\] gdzie $y$ to wysokość słupa.
----------------------------------------------------------
Dwa ciężarki połączone sprężyną

Wyznacz okres drgań układu składającego się z dwóch ciężarków o masach $m_1$ i $m_2$ połączonych bardzo lekką sprężyną o współczynniku sprężystości $k$. Rozważ tylko drgania, przy których sprężyna nie wygina się na boki.  Pomiń wpływ innych ciał. Uzyskaj również wynik liczbowy dla $ k = 54$ N/m, $ m_1 = 2$ kg oraz $ m_2 = 6$ kg. \\[2em] 

\begin{center}
  \begin{asy}[width=0.5\textwidth]
 
import feynman;

unitsize(1bp); // Very important. With size() or other values width of the pen scales differently than sizes of objects.

real penWidth = 0.8;
defaultpen(penWidth);

void drawSpring(pair beg, pair end, real amplitude = 12., real width = 20., real endingLength = 15.) {
  pair direction = dir(beg--end);
  pair beg1 = beg + endingLength * direction;
  pair end1 = end - endingLength * direction;
  drawGluon(beg1--end1, amp = amplitude, width = width);
  draw(beg--beg1);
  draw(end--end1);
}

real l = 120.; // Length of the spring
pair beg = (-l/2,0);
pair end = (+l/2,0);

drawSpring(beg, end, amplitude=l/15., width=l/8., endingLength=l/10.);

label(Label("$k$", 0.5, 5S), beg--end);

// Bricks
real a = 0.7 * l; // First side
real b = 0.3 * l; // Second side
// Vertices of the brick (rectangle)
pair R1 = (0, 0);
pair R2 = (a, 0);
pair R3 = (a, b);
pair R4 = (0, b);
path Brick = R1--R2--R3--R4--cycle;

// Shift left
real s = l/2 + a;
path Brick1 = shift(-s, -b/2) * Brick;
filldraw(Brick1, opacity(0.7)+lightgrey);
label(Label("$m_1$"), (-(l+a)/2, 0));

// Shift right 
real s = l/2;
path Brick2 = shift(+s, -b/2) * Brick;
filldraw(Brick2, opacity(0.7)+lightgrey);
label(Label("$m_2$"), ((l+a)/2, 0));
 

  \end{asy}
\end{center}



Opiszmy położenie ciężarków za pomocą współrzędnych $x_1$ oraz $x_2$, przyjmijmy zwrot osi $X$ w prawo. Odstęp między nimi to $ u \equiv x_2 - x_1$.

Niech $l$ będzie długością swobodną sprężyny. Siła sprężystości działająca na drugi ciężarek będzie równa: $ - k (u - l) $.

Równiania ruchu dla obu ciężarków:
\[
   m_1 \ddot{x}_1 = + k (u - l)
\]
\[
   m_2 \ddot{x}_2 = - k (u - l)
\]


Po wyznaczeniu przyśpieszeń i odjęciu równań stronami otrzymujemy:
\[
   \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1 = - k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right)  (u - l)
\]
Ale 
\[
   \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1 = \ddot{u}
\]
Prowadzi to do równania oscylatora
\[
   \ddot{u} = - k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right)  (u - l)
\]



Okres drgań będzie równy
\[
   T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ m_1 m_2 }{ k (m_1 + m_2) } }
\]
Wynik liczbowy  $ T \approx 1,05$ s.
----------------------------------------------------------
Postrzelone wahadło

Metalowy ciężarek o masie $M = 311$ g wisi na bardzo lekkim sznurku o długości $l = 56$ cm. Sznurek zaczepiony jest jednym końcem w środku masy ciężarka, a drugim w taki sposób, że po nadaniu ciężarkowi prędkości o odpowiednio dużej wartości ciężarek może poruszać się po okręgu zawartym w pionowej płaszczyźnie. W pewnej chwili w ciężarek uderza poziomo lecący z prędkością o wartości $v$ pocisk o masie $m = 12$ g. Pocisk zlepia się trwale z~ciężarkiem. Powstałą bryłę można traktować jak punkt materialny. Jaka powinna być minimalna wartość prędkości pocisku, aby utworzona bryła zatoczyła pełny okrąg o promieniu $l$ w płaszczyźnie pionowej? Przyśpieszenie ziemskie w miejscu zdarzenia jest równe $9,8$ m/s$^2$. Pomiń opory ruchu bryły. 
\begin{center}
  \begin{asy}[width=0.400000\textwidth]

int l = 90;
int v = 60;
int g = 60;

int height = (int) 2.2 * l;
int width = (int) 2.5 * l;

size(width, height);

pair O, W, B, G1;

O = (0, 0); // Centre of the circle
W = (0, -l); // Initial position of weight
B = (1.3*v, -l); // Initial position of bullet
G1 = (1.3*l, 0.5*g); // Position of g vector

dot(O);
path C = circle(O, l);
draw(C, gray(0.4)+dashed);

path Wcirc = circle(W, l / 20);
fill(Wcirc);
label("$M$", W, 2S);

path L = O--W; // String 
draw(Label("$l$"), L, black);

pair V2 = B - (v, 0);
path V = B--V2; // Velocity
draw(Label("$v$", 0.5, S), V, Arrow);

path Bcirc = circle(B, l / 40);
fill(Bcirc);
label("$m$", B, 1.5S);

//pair G2 = G1 - (0, g);
//path G = G1--G2; // g
//draw(Label("$g$"), G, Arrow);

  \end{asy}
\end{center}


Jaka będzie prędkość powstałej bryły tuż po zderzeniu i zlepienu się ciężarka i pocisku?

Jaka będzie prędkość bryły w najwyższym punkcie okręgu?

Jaki warunek musi być spełniony w najwyższym punkcie okręgu, by torem bryły był właśnie okrąg?

Ile jest równa minimalna wartość prędkości spełniająca ten warunek?

Oznaczmy indeksem 1 prędkość bryły w najniższym punkcie okręgu, a przez 2 w najwyższym. Dodatkowo niech $\mu \equiv m + M$. Otrzymujemy układ równań: 
\[ m v = \mu v_1 \]
\[ \frac{1}{2} \mu v_1^2 = \frac{1}{2} \mu v_2^2 + \mu g 2l \]
\[ \frac{v_2^2}{l} = g \]
Rozwiązaniem jest $v = \frac{m + M}{m} \sqrt{5gl} \approx 141$ m/s.
----------------------------------------------------------
Niezdecydowany punkt materialny

Punkt materialny porusza się wzdłuż osi $X$. Na wykresie przedstawiono zależność jego położenia $x$ od czasu $t$. 

 
\begin{center}
  \begin{asy}[width=\textwidth,height=0.3\textheight,keepAspect=false]
    import graph;
    real xmin=0, xmax=12 ; real ymin=-5, ymax=21 ;
    real fun(real t) {  
 if (t <= 3) return -1 + -2 * (t - 0) + 6 * (t -0)^2/2; 
 
 if (t <= 6) return 20 + 0 * (t - 3) + 0 * (t -3)^2/2; 
 
 if (t <= 8) return 20 + 0 * (t - 6) + -4 * (t -6)^2/2; 
 
 if (t <= 10) return 12 + -8 * (t - 8) + 0 * (t -8)^2/2; 
 
 if (t <= 12) return -4 + 2 * (t - 10) + 2 * (t -10)^2/2; 
 return 0; };
    scale(Linear,Linear);
    if (ymin<0 && ymax>0) draw((xmin, 0)--(xmax, 0), linewidth(0.8)+gray(0.5)+dashed);
    draw(graph(fun,xmin,xmax,1000),linewidth(1.3));
    ylimits(ymin,ymax);
    pen Thin=linewidth(0.4)+gray(0.6);
    pen thin=linewidth(0.3)+gray(0.7);
    xaxis("$t/$s",BottomTop(),LeftTicks(extend=true,pTick=Thin,ptick=thin,Step=2,step=1));
    yaxis("$x/$m",LeftRight(),RightTicks(extend=true,pTick=Thin,ptick=thin,Step=2,step=1));
  \end{asy}
\end{center}
W tabeli podano przyśpieszenie $a$ punktu materialnego w poszczególnych interwałach czasu. 

 \renewcommand{\arraystretch}{1.2}  

 \begin{center} 
 \begin{tabular}{ c|*{5}{c} } 
 $t/$s  & $[0, 3[$ & $]3, 6[$ & $]6, 8[$ & $]8, 10[$ & $]10, 12]$ \\ $a / ($m/s$^2)$  & $6$ & $0$ & $-4$ & $0$ & $2$ \\ 
 \end{tabular} 
 \end{center} 

Wykonaj wykres zależności prędkości $v$ od czasu dla tego punktu materialnego dla $t \in [0, 12]$ s. 
\begin{center}
  \begin{asy}[width=\textwidth,height=0.3\textheight,keepAspect=false]
    import graph;
    real xmin=0, xmax=12 ; real ymin=-9, ymax=17;
    scale(Linear,Linear);
    xlimits(xmin,xmax);
    ylimits(ymin,ymax);
    if (ymin<0 && ymax>0) draw((xmin, 0)--(xmax, 0), linewidth(0.8)+gray(0.5)+dashed);
    pen Thin=linewidth(0.4)+gray(0.6);
    pen thin=linewidth(0.3)+gray(0.7);
    xaxis("$t/$s",BottomTop,LeftTicks(extend=true,pTick=Thin,ptick=thin,Step=2,step=1));
    yaxis("$v/($m/s$)$",LeftRight,RightTicks(extend=true,pTick=Thin,ptick=thin,Step=2,step=1));
  \end{asy}
\end{center}


Jeśli $v$ jest dodatnie, to punkt materialny porusza się zgodnie ze zwrotem osi $X$, a jeśli $v$ jest ujemne, to punkt materialny porusza się w przeciwną stronę.

\[ x = x_0 + v_0 (t-t_0) + \frac{1}{2} a (t-t_0)^2 \]

Wygodniej będzie posłużyć się zmianami wielkości. Po danym interwale czasowym $ \Delta t$ mamy: \[ \Delta x = v_0 \,\Delta t + \frac{1}{2} a \,\Delta t^2, \] więc prędkość na początku przedziału to \[v_0 = \Delta x / \Delta t - \frac{1}{2} a \,\Delta t \]

Na końcu interwału czasowego $\Delta t$ prędkość to \[ v_f = v_0 + a \,\Delta t = \Delta x / \Delta t + \frac{1}{2} a\, \Delta t \]

Poprawny wykres: 
\begin{center}
  \begin{asy}[width=\textwidth,height=0.3\textheight,keepAspect=false]
    import graph;
    real xmin=0, xmax=12 ; real ymin=-9, ymax=17 ;
    real fun(real t) {  
 if (t <= 3) return -2 + 6 * (t - 0); 
 
 if (t <= 6) return 0 + 0 * (t - 3); 
 
 if (t <= 8) return 0 + -4 * (t - 6); 
 
 if (t <= 10) return -8 + 0 * (t - 8); 
 
 if (t <= 12) return 2 + 2 * (t - 10); 
 return 0; };
    scale(Linear,Linear);
    if (ymin<0 && ymax>0) draw((xmin, 0)--(xmax, 0), linewidth(0.8)+gray(0.5)+dashed);
    bool3 cond(real t) {      // Do not draw vertical lines at discontinuities
       real delta = (xmax - xmin)/4000;
       real epsilon = (ymax - ymin)/100;
       if (abs(fun(t+delta)-fun(t)) > epsilon) return false;
       return true;
    };
    draw(graph(fun,xmin,xmax,5000,identity,cond),linewidth(1.3));
    ylimits(ymin,ymax);
    pen Thin=linewidth(0.4)+gray(0.6);
    pen thin=linewidth(0.3)+gray(0.7);
    xaxis("$t/$s",BottomTop,LeftTicks(extend=true,pTick=Thin,ptick=thin,Step=2,step=1));
    yaxis("$v/($m/s$)$",LeftRight,RightTicks(extend=true,pTick=Thin,ptick=thin,Step=2,step=1));
  \end{asy}
\end{center}

----------------------------------------------------------
Przemiany gazowe

Ustalona porcja gazowego neonu przeszła przemiany 1, 2 i 3 przedstawione na poniższym wykresie, gdzie $p$ oznacza ciśnienie gazu, a $V$ jego objętość. Początkowo parametry gazu opisywał punkt $A$. Wiadomo, że przemiana 3 była adiabatyczna. \\ a) Podaj nazwy przemian 1 i 2. W przypadku przemiany 1 swoją hipotezę dotyczącą rodzaju przemiany sprawdź w 3 różnych punktach. \\ b) Dla każdej z przemian wskaż wielkości, które są zawsze równe $0$ w trakcie tej przemiany. \\ c) Czy gaz w punkcie $D$ ma większą temperaturę niż w punkcie $A$? \\ d) Czy z punktu $D$  może ta porcja gazu dotrzeć do punktu $A$ w przemianie izobarycznej? 

\begin{center}
  \begin{asy}[width=0.9\textwidth, height=0.4\textheight, keepAspect=false]
 
import graph;

real xmin=0, xmax=11;
real ymin=0, ymax=17;

xlimits(xmin, xmax);
ylimits(ymin, ymax);

pen mThin=linewidth(.5)+dashed+gray(0.3);
pen mthin=linewidth(.5)+dashed+gray(0.6);

xaxis("$V$/dm$^3$", BottomTop, Ticks(pTick=mThin, ptick=mthin, extend=true, Step=2, step=1, begin=false, OmitTick(xmax)));

yaxis("$p$/kPa", LeftRight, Ticks(pTick=mThin, ptick=mthin, extend=true, Step=2, step=1, begin=false, OmitTick(ymax)));

 

DefaultHead=HookHead;

dotfactor = 12;

// Isothermal process
real x1 = 2, x2 = 10;
real pIsoth(real V) {
  return 30/V;
}
draw(Label("{\Large \bf 1}", 350, 2.5NE), graph(pIsoth,x1,x2,1000), linewidth(1.5), MidArrow(7));
dot("{\Large \bf \em A}", (x1, pIsoth(x1)), 2W);

// Vertical line - isochoric process
real y1 = 3, y2 = 1;
path vline = (x2, y1)--(x2, y2);
draw(Label("{\Large \bf 2}", 0.5, 2E), vline, linewidth(1.5), MidArrow(7));

// Adiabatic process
real  gamma = 5./3.;
real adiabConstant = y2 * x2^gamma; // p * V^gamma = const. 
real pAdiab(real V) {
  return adiabConstant/V^gamma;
}
real x3 = 3;
draw(Label("{\Large \bf 3}", 600, 2.5S), graph(pAdiab,x2,x3,1000), linewidth(1.5), MidArrow(7));
dot("{\Large \bf \em D}", (x3, pAdiab(x3)), 2W);
 

  \end{asy}
\end{center}



W przemianie 1 iloczyn $ pV $ jest stały.

Dla gazu doskonałego $ T \propto pV$.

~\\ a) Przemiana 1 to przemiana izotermiczna, gdyż $ pV $ ma zawsze tę samą wartość, np.~$ 2 \cdot 15 = 3 \cdot 10 = 5 \cdot 6 $ (w jednostkach kPa$\cdot$dm$^3$). Przemiana 2 jest przemianą izochoryczną. \\ b) W trakcie przemiany 1 zmiana temperatury oraz zmiana energii wewnętrznej są równe $0$, w trakcie przemiany 2 zmiana objętości oraz praca (wykonana nad gazem lub wykonana przez gaz), a w trakcie przemiany 3 wymienione z otoczeniem ciepło. \\ c) Nie. Iloczyn $ pV $ w punkcie $A$ jest równy $ 2 \cdot 15 = 30$, a w punkcie $D$ jest mniejszy niż $ 8 \cdot 3 = 24$ (w jednostkach kPa$\cdot$dm$^3$). \\ d) Nie, gdyż ciśnienia w tych punktach są różne.
----------------------------------------------------------
Działania na zbiorach

Uprość poniższe wyrażenia, w których występują zbiory $A$ i $B$: \\a) $ (A \setminus B ) \cap (B \setminus A)  $ \\b) $ (A \cap B) \setminus B  $ \\c) $ (B \setminus A) \setminus A  $ \\d) $ (B \cup B ) \setminus A  $ 

~\\ a) $\{ \} $ \\b) $ \{ \} $ \\c) $ B \setminus A $ \\d) $B \setminus A $
----------------------------------------------------------
Samochód

Samochód pana Krzysztofa spala 9 litrów benzyny na sto kilometrów, a litr benzyny kosztuje 4~zł. Ile \textbf{pełnych} kilometrów przejedzie pan Krzysztof samochodem za równowartość hot-doga zakupionego na stacji benzynowej, czyli za 2~zł?

Na ile litrów benzyny wystarczy równowartość hot-doga zakupionego na stacji benzynowej? Odpowiedź: 0,5 litra.

Za równowartość hot-doga zakupionego na stacji benzynowej samochód przejedzie 5 pełnych km.
----------------------------------------------------------
Prędkość człowieka

Z jaką prędkością -- w kilometrach na godzinę -- porusza się człowiek, który pokonuje 4950~metrów w ciągu 15~minut?

Ile metrów pokonuje w ciągu minuty? Odpowiedź: 330 m.

Ile metrów przejedzie w ciągu godziny? Odpowiedź: 19800 m.

Ile kilometrów przejedzie w ciągu godziny? Odpowiedź: 19,8 km.

Człowiek porusza się z prędkością 19,8 km/h.
----------------------------------------------------------
Prędkość człowieka

Z jaką prędkością -- w kilometrach na godzinę -- porusza się człowiek, który pokonuje 74250~metrów w ciągu 225~minut?

Ile metrów pokonuje w ciągu minuty? Odpowiedź: 330 m.

Ile metrów przejedzie w ciągu godziny? Odpowiedź: 19800 m.

Ile kilometrów przejedzie w ciągu godziny? Odpowiedź: 19,8 km.

Człowiek porusza się z prędkością 19,8 km/h.
----------------------------------------------------------
Fotografia

Łazik marsjański przesłał zdjęcie znalezionego obiektu do analizy. Na zdjęciu w skali 1:10 obiekt miał 6,5 mm. Aby go dokładniej zbadać, powiększono zdjęcie. Jaką wielkość będzie miał ten obiekt w skali 7:1?
~\\[1cm] \begin{center} \textbf{\textit{-dpc} na końcu id oznacza możliwość kontroli miejsc dziesiętnych} \end{center}

6,5 mm na fotografii to ile milimetrów w rzeczywistości (w skali 1:1)? Odpowiedź: 65 mm.

65 mm to ile mm w skali 7:1? Odpowiedź: 455 mm.

Na powiększonym zdjęciu obiekt będzie miał długość 455 mm.